Operaciones con conjuntos 22-10-22

 

Determinación de un conjunto.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Por extensión:
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Para ello los escribimos cada elemento separados por comas y encerrados entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9: A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Por comprensión:
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letras vocales del abecedario: B = {x / x es una letra vocal}. Dos conjuntos son idénticos si, y sólo si, contienen los mismos elementos.

Unión de conjuntos.

La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que están en el conjunto A o en el conjunto B. La unión de dos conjuntos de denota como A ∪ B. También, se puede escribir como A ∪ B = {x|x∈A o x∈B}
Es decir que al unir dos conjuntos, el resultado contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.
Además en la unión de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa: por lo tanto A ∪ B = B ∪ A
• Asociativa: es decir que dados tres o mas conjuntos tendremos (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Intersección de conjuntos.

Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.
Existe un símbolo matemático para la intersección: ∩, como el símbolo unión invertido.
Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera: G ∩ H.
En la intersección de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Asociativa: es decir que, R ∩ S ∩ T = (R ∩ S) ∩ T = =R ∩ (S ∩ T)
• Conmutativa: de modo tal que, R ∩ S ∩ T = R ∩ T ∩ S = T ∩ R ∩ S
• Distributiva: La unión es distributiva con respecto a la intersección, (R ∩ S) ∪ T = (R ∪ T) ∩ (S ∪ T). La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión, (R ∪ S) ∩ T = (R ∩ T) ∪ (S ∩ T)

Diferencia simétrica de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, menos los que son comunes a ambos.
En la diferencia simétrica de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:

• Asociativa: (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Conmutativa: A Δ B = B Δ A
• Distributiva respecto a la intersección: A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C)

• Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, es decir: U^c = ∅
• El complemento del complemento de A es el propio A: (A^c)^c = A
• La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal: A ∪ A^c = U
• Un conjunto y su complementario son disjuntos: A ∩ A^c = ∅
• El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A: B ⊆ A implica que A^c ⊆ B^c